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王沙，楊志安，任中京

(濟(jì)南大學(xué)理學(xué)院，山東濟(jì)南250022)

摘要：互信息函數(shù)反映的是系統(tǒng)中的非線性關(guān)聯(lián)，是將線性的關(guān)聯(lián)函數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)的一種推廣，動(dòng)態(tài)光散射領(lǐng)域目前未見(jiàn)到用計(jì)算互信息函數(shù)進(jìn)行分析的報(bào)道。本文中通過(guò)計(jì)算互信息函數(shù)，對(duì)動(dòng)態(tài)光散射檢測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的時(shí)間序列進(jìn)行分析，研究表明，互信息函數(shù)法能準(zhǔn)確地測(cè)出電機(jī)轉(zhuǎn)速。同時(shí)，由于互信息函數(shù)自身的優(yōu)點(diǎn)——能實(shí)際地反映出數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)，因此，與自相關(guān)函數(shù)法比較，互信息函數(shù)法反映出了更多的動(dòng)力學(xué)信息。目前正在把互信息函數(shù)分析法用于檢測(cè)顆粒粒徑的實(shí)驗(yàn)當(dāng)中。希望利用互信息函數(shù)分析的方法，在動(dòng)態(tài)光散射檢測(cè)顆粒粒徑的實(shí)驗(yàn)當(dāng)中得到更多的動(dòng)力學(xué)信息。并進(jìn)一步應(yīng)用于納米顆粒粒徑的動(dòng)態(tài)光散射檢測(cè)中。

關(guān)鍵詞：互信息函數(shù)；動(dòng)態(tài)光散射；自相關(guān)函數(shù)。

本文利用互信息函數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)光散射法測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了研究，準(zhǔn)確測(cè)出了電機(jī)的轉(zhuǎn)速。文中比較了互信息函數(shù)法與自相關(guān)函數(shù)法^[2]兩種方法的優(yōu)劣。

1. 原理

按Shannon的信息理論，設(shè)S表示一組訊號(hào)為s₁，s₂，…，s_n的系統(tǒng)，出現(xiàn)s₁的概率P_s(s _?)，i = 1，2，…，n。對(duì)另一組訊號(hào)為q₁，q₂，…，q_n的系統(tǒng)Q，出現(xiàn)q_j的概率是P _q (q_j),j= 1，2，…，n。s _?和q_jq同時(shí)出現(xiàn)的概率P_sq(s _?, q_j)。互信息的定義為^[3]

I(S, Q) 度量的是變量S與Q之間的一般性關(guān)聯(lián)程度，或比值P_sq(s _?, q_j)/ P_s(s _?j) P_q(q_j) 的整體不平整程度?；バ畔⒃酱?，變童S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)，系統(tǒng)的不平整程度越高，系統(tǒng)越不均勻；互信息越小，S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越弱，系統(tǒng)的不平整程度越低，系統(tǒng)越均勻。

在光子互信息法檢測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)研究中，主要關(guān)心的是測(cè)量數(shù)據(jù)隨延遲時(shí)間T的周期性，從而得出電機(jī)的轉(zhuǎn)速。在計(jì)算中，對(duì)某給定的延遲時(shí)間T，令[s,q]=[x(t),x(t+T)]，這時(shí)互信息I是延遲時(shí)間T的函數(shù)I (T)。

因?yàn)殡姍C(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)是周期性的動(dòng)力系統(tǒng)，其狀態(tài)隨時(shí)間的演化可表示成s = x(T)= Sint，則延遲坐標(biāo)可表示成q = x(t+T)= sin(t+T)，其中T是延遲時(shí)間。當(dāng)延遲T₁=0 時(shí)，q = x(t+T)= sin(t+0)=sin t，這時(shí)s與q是同一變量與，s與q間的關(guān)聯(lián)最強(qiáng)，這時(shí)I (T₁)取極大值。設(shè)系統(tǒng)周期是τ，當(dāng)

T₂=τ時(shí)，q = x(t+τ)= sin(t+τ)=sint，使互信息I (T₂)又取極大值，則兩個(gè)極大點(diǎn)之差T₂ - T₁= τ即為系統(tǒng)的周期。所以只要找出互信息I的兩個(gè)相鄰極大值所對(duì)應(yīng)的極大點(diǎn)T₁和T₂，其差值τ= T₂ - T₁就是系統(tǒng)的周期。當(dāng)周期τ確定后，就可求出轉(zhuǎn)速。另外利用由互信息I (T)的極大值來(lái)確定周期，易于辨別和計(jì)算。

在測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)中，由于電機(jī)所帶動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)是不完全均勻的，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，從其上面散射的光就會(huì)呈現(xiàn)周期性。我們首先用探測(cè)器來(lái)接收這些散射光，得到散射光的時(shí)間序列；其次編制出計(jì)算互信息的程序，計(jì)算出給定延遲時(shí)間T值下的互信息值I (T)，得出互信息函數(shù)曲線；最后利用互信息函數(shù)曲線，求出轉(zhuǎn)動(dòng)的周期性，從而求出轉(zhuǎn)速。

2. 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖1所示。

1.永磁直流電動(dòng)機(jī)；2.圓盤(pán)；3.5.光闌圖；4.透鏡；6.計(jì)數(shù)器圖

圖1實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

圖2取樣點(diǎn)處光子數(shù)隨時(shí)間的變化

用直流電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，電機(jī)轉(zhuǎn)速可調(diào)。在一定的測(cè)量時(shí)間內(nèi)，采集的光子數(shù)隨時(shí)間變化的曲線如圖2所示。從圖3可以看出互信息處理周期變化的信號(hào)顯現(xiàn)出來(lái)。

3．由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算電機(jī)轉(zhuǎn)速

對(duì)電機(jī)采集某一轉(zhuǎn)速下隨時(shí)間變化的光子數(shù)，用自編軟件對(duì)采集到的數(shù)據(jù)計(jì)算互信息函數(shù)，可得到互信息的函數(shù)曲線I (T)。分析互信息函數(shù)曲線的周期特性，可計(jì)算出相應(yīng)的轉(zhuǎn)速。

圖3對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的互信息處理

圖4同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖

對(duì)一組數(shù)據(jù)的互信息曲線（如圖3）進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)速計(jì)算：由互信息極大點(diǎn)可知圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)周期為25 x 2 ms，轉(zhuǎn)速n = 60/25×2×10^-3 = 1200 r/min。所得結(jié)果與文^[2]所用的自相關(guān)函數(shù)法（圖4）所計(jì)算出的電機(jī)轉(zhuǎn)速相同。這說(shuō)明把互信息函數(shù)法應(yīng)用于動(dòng)態(tài)光散射測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)中是可行的。

4．討論

本文將互信息函數(shù)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)光散射檢測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的研究，準(zhǔn)確得測(cè)出電機(jī)轉(zhuǎn)速，這一結(jié)果與自相關(guān)函數(shù)法的結(jié)果一致。并且互信息函數(shù)法是真正意義上的相互關(guān)聯(lián)，可得到更多系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)信息，這些信息常常被淹沒(méi)于噪聲中。

目前正在把互信息函數(shù)分析法用于檢測(cè)顆粒粒徑的實(shí)驗(yàn)當(dāng)中。希望利用互信息函數(shù)分析的方法，在動(dòng)態(tài)光散射檢測(cè)顆粒粒徑的實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，得到更多的動(dòng)力學(xué)信息。并進(jìn)一步應(yīng)用于納米顆粒粒徑的動(dòng)態(tài)光散射檢測(cè)中。

參考文獻(xiàn)：

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[4]     楊志安, 等. 用等間距格子法計(jì)算互信息函數(shù)確定延遲時(shí)間[J]. 計(jì)算物理, 1995, 12(4): 443.

Analysis On the Mutual Information Function

for Testing Dynamic Light Scattering Method

WANG Sha. YANG Zhi-an, REN Zhong-jing

(Science School, Jinan University, Jinan 250022,China)

Abstract: The mutual information function is adapted to develop the experiment of testing the rotational speed of the electrical machinery by the Photon Correlation Technique and picked up the rotational speed's information of the electrical machinery. It indicated that the mutual information function could be applicable to the experiment of testing the electrical machinery by the photon correlation technique as same as the autocorrelation function. At the same time, because of the advantage of the mutual information function, it could actually reflect the mutual correlation of the data and paid more attention to the details. So it could reflect a lot of dynamics’ subtle information.

Key words: mutual information function；dynamic light scattering；autocorrelation function