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Mie 散射系數(shù)的新算法

王少清 任中京　張希明　何芳 江海鷹

(山東建筑材料工業(yè)學院，濟南　250022)

提要：介紹了一種計算Mie散射系數(shù)的新方法，給出了計算實例。

關(guān)鍵詞：米氏散射，Mie系數(shù)，Mie計算

New algorithm of Mie scattering parameters

Wang Shaoqing  Ren Zhongjing　Zhang Ximing 　HeFang  Jiang Haiying

(Shandong Institute o f Building Materials，Jinan　250022)

Abstract：A new algorithm of calculating Mie Parameters was introduced. Some calculation results done with this algorithm were given.

Key words: Mie scattering ，Mie parameters，Mie calculation

1　引言

Mie 理論是球形顆粒對單色光的散射場分布的嚴格解析解^[1]，目前在環(huán)保、動力、氣象、天文、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測量等工程技術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應用。利用單一顆?；蝾w粒群光散射場的測量數(shù)據(jù)?？梢苑赐频蒙⑸漕w?；蝾w粒群的很多物理性質(zhì)，如顆粒的尺寸、顆粒的折射率等^[2]。但反推必須事先計算出各種尺寸的顆粒在各種復折射率下的散射場分布數(shù)據(jù)。1968 年Dave^[3]最先發(fā)表了完整的Mie散射計算方法，以后Lentz^[4]和Wiscomb^[5]又針對部分計算提出了新算法。國內(nèi)也有人發(fā)表了他們自己的算法^{[6、7、8]}。但總的看來，這些算法均有各自的局限性。尤其是當顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時，往往計算速度過慢或產(chǎn)生溢出和不收斂等現(xiàn)象。本文介紹作者發(fā)展的Mie 散射新算法。該算法的特點是不受顆粒尺寸及折射率的限制，不會產(chǎn)生溢出和不收斂的現(xiàn)象，且具有較快的計算速度。

2　Mie散射系數(shù)的計算公式

Mie 散射計算的中心問題是計算Mie 散射系數(shù)a_n 和b_n，其表達式為^[9]

其中為顆粒的尺寸參數(shù)，定義為α=πd/λ，d為顆粒直徑，λ為入射光在顆粒周圍介質(zhì)中的波長，而m為顆粒在周圍介質(zhì)中的相對復折射率，即m= m¹ + im² ( m²< 0) , 式中i 為虛數(shù)單位。而Ψ_n( Z) 和ξ_n( Z) ( Z 既表示α，又表示mα)的表達式為

Ψ_n( Z)=（πZ/2）J_n+1(Z)

ξ_n( Z)=Ψ_n( Z)+iΧ_n(Z)

Χ_n(Z)= ? (πZ/2)( ? 1)_n-1J_-(n-1)(Z)

     = ? (πZ/2)N_n+1(Z)

3 計算中產(chǎn)生溢出的原因

計算Mie 散射系數(shù)須先計算Ψ_n 和Χ_n。一般采用遞推的方法。遞推又分為向前遞推( 即從n= 0 開始) 與向后遞推( 即從n= N 開始至n=0, N 為預先設(shè)定值) 。實驗表明，向前遞推總是快于向后遞推。Ψ_n 和Χ_n的初值為

分析以上兩式可知，當m₂≠0 時, 若顆粒尺寸d很大, 或復折射率的虛部值m₂很大，將使得乘積m₂d很大，可使兩式中的項exp( - m₂ α) =exp ( - πm₂d/ λ) 的值超過計算機的數(shù)據(jù)限，從而產(chǎn)生溢出，這是產(chǎn)生溢出的重要原因。另外，在遞推過程中，不恰當?shù)乃惴ㄒ部赡茉斐梢绯觥?/span>

4　a_n和b_n的新算法

為解決上述問題，作者提出了新的算法。將a_n和b_n的公式變形如下: 令

其中Lnr、Lnj分別表示Ln(m)的實部與虛部。將（2）式代入（1）式，并用a_nr、a_nj和b_nr、b_nj分別表示的實部與虛部。如此可推得

在上述四個公式中采用比值的形式是非常重要的，這樣可避免遞推過程中當a_i與b_i   較大時乘法運算可能產(chǎn)生的溢出。這是本算法的一個重要特點。在以上四式中

由于均為實變量函數(shù)，計算不產(chǎn)生溢出。關(guān)鍵是  和的算法如何處理，才能保證計算中不產(chǎn)生溢出。在Lentz的算法中是采用連分式計算Ln的值，其精度的保證是由在大量計算基礎(chǔ)上得出一個截斷項數(shù)N與參數(shù)a與m的經(jīng)驗公式而實現(xiàn)的。這樣的經(jīng)驗公式，一則有實用上的局限性，再則也會帶來截斷誤差。文獻（6）對此經(jīng)驗公式做了改進，但仍陷于a=1~100，m1=1~2，m2=0~1的范圍。下面介紹本文作者發(fā)展的關(guān)于Ln的新算法。該算法的特點是不受a及m值的限制，不會產(chǎn)生溢出或不收斂等病態(tài)現(xiàn)象，且具有較快的計算速度。令

上面導出的(3) - (20)諸式，構(gòu)成了Mie系數(shù)an和bn的完整算法。由于an和bn是從n= 1開始計算，利用初值公式(16) - (20)即可算得任意級數(shù)的an和bn的值，故沒有舍入誤差的問題。從(16)式可見，因為y= m₂ɑ≤0, 故無論m₂和ɑ取何值均不會產(chǎn)生溢出，再加上(3)的各式中采用了比的形式，又避免了計算過程中的溢出，這就從根本上解決了溢出的問題。

5　計算實例

利用以上算法編制了計算顆粒散射場強度和消光系數(shù)的計算機程序。當波長為λ的單位振幅的平面自然光入射顆粒時，顆粒的散射光強為^[9]

Ξ為計算機在雙精度下的最小數(shù)據(jù)限。

圖1示出散射光強的一組計算實例。其中取m₁=1.33，m₂=-0.4，λ=0.6328三圖分別對應于顆粒的直徑為d=0.001,1.0和30μm。而d圖為顆粒直徑d=100μm時散射花樣的局部放大。可見，隨著顆粒尺寸的增大，前向散射迅速加強，并且出現(xiàn)了復雜的旁瓣。

實部(a)與虛部(b)的變化情況?？梢婋S著m₁和m₂的增大，雖然顆粒的尺寸保持不變，但散射也加強，且后向散射隨著m₁和m₂的增大而加強。

圖3給出有關(guān)消光系數(shù)的計算結(jié)果，其中a)和b)分別表示消光系數(shù)隨折射率實部與虛部的變化情況。可見隨著顆粒直徑的增大，消光系數(shù)趨近于2; 折射率的增大，尤其是折射率虛部的增大，使這一趨近變得更快和更明顯。另外當折射率的虛部m₂= 0時，消光系數(shù)隨顆粒直徑的增大而振蕩；但當m2≠0 時，振蕩迅速消失。

光強最大值處所對應的F_M(Z)的值即由上式確定。由上式也可見：此極限情況下的焦移大小主要由S₀/f及N_a所決定。

參考文獻：

[1]M. Bor n and E. Wolf, Principles of optics ( sixt hedition ) , Pergaman Press ( OXFORD, NEW YORK, PARIS) , pp611(1980)

[2]Peter Chylek, V. Ramasw amy , A. Ashkin and J.M . Dziedzic,“Simultaneous determination o f refractiv endex and size o f spherical dielectric particles from light scattering data”,Appl. Opt . ,Vo l. 22, No . 15, p2302- 2307(1983)

[3]J. V. Dave, Repo rt 320 - 3237 ( IBM Scientific center , 1968)

[4]W. J. Lentz, Appl. Opt. , 15, 668( 1976)W. J. Wiscome, Appl. Opt, Vol. 19, No. 9, pp1505( 1980)

[6]顧冠亮等, 有關(guān)光散射物理量的數(shù)值計算, 上海機械學院學報, 1984 年4 期pp21

[7]余其錚等, Mie 散射算法的改進, 哈爾濱工業(yè)大學學報, 1987 年3 期, pp21

[8]鄭剛等, M ie 散射的數(shù)值計算, 應用激光, Vol.12, No . 5, pp220( 1992)

[9]H. C. v an de Hulst , Lig ht scatter ing by small particles,Do ver Publica tion lnc. , New Yor k, chp. 13( 1981)